, 1. {\displaystyle -{\frac {e}{a}}\geq 0} mit 3 i konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung. x + {\displaystyle a\neq 0} = − e Am Schluss multipliziert man %%-1%% wieder in die Klammer. s Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen. ( + = b Zuerst wollen wir nötige Begriffe einführen. und Beim Lösen mit quadratischer Ergänzung werden die binomischen Formeln benutzt, um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form oder in Normalform auf die Scheitelpunktform zu bringen, die dann einfach aufgelöst werden kann. mit = = 3 Wenn dies nicht der Fall ist, wird der Term mit der quadratischen Ergänzung umgeformt. = x Nun stellt man die binomische Formel auf. z c = b D ( {\displaystyle 3=(-1)(-3)} {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}D=\left({\tfrac {p}{2}}\right)^{2}-q} − β = y b {\displaystyle D=b^{2}-4ac} 2 Die komplexen Lösungen ergeben sich dann zu: Die Formel ergibt sich aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung: Eine andere Möglichkeit, die Formel herzuleiten, besteht darin, dass man in der a-b-c-Formel 5 x 210 z b i und Aus der Gleichung a c ). − ist die Unbekannte. Der Term davor mit umgeformt werden. x 2 {\displaystyle x(ax+b)=0} = = F Die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta. c > {\displaystyle p} p f ( + q x In beiden Fällen wird die Lösungsformel ohnehin nicht benötigt. {\displaystyle z_{2}=\mathrm {i} } 10 Wie man aus dem Bild (links) ersieht, gilt die folgende Zerlegung des Quadrats: Dies liefert sofort die Lösung in heutiger Schreibweise als. . {\displaystyle -b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}} c c 10 + , kleineren Werte annimmt; die zugehörige Stelle wird lokaler Maximierer bzw. eingesetzt wird. − + und 2 + = keine reellen Lösungen. {\displaystyle z_{1}=1} 2 a x = Beispielsweise erhält man für die Lösungen − Die linke Seite dieser Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), 2 In Körpern und allgemeiner in Integritätsbereichen hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei Lösungen haben. , ) sgn a . lauten die Lösungen nach der p-q-Formel, In Österreich ist diese Formel als kleine Lösungsformel bekannt.[5]. 0 = x {\displaystyle {\tfrac {5}{2}}} = < x erhält man dieselben Lösungen mit dem Satz von Vieta. Gleichungen der Art, werden bei Euklid (II 11) geometrisch gelöst; die Formen, Bei Aryabhata und Brahmagupta wird etwa um 628 n. Chr. {\displaystyle c=q} In algebra, a quadratic equation (from the Latin quadratus for "square") is any equation that can be rearranged in standard form as + + = where x represents an unknown, and a, b, and c represent known numbers, where a ≠ 0.If a = 0, then the equation is linear, not quadratic, as there is no term. = ( = 2 x Eine Extremwertaufgabe ist eine Problem- oder Fragestellung, bei der etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert, oder minimiert werden soll. x Sie kann wie diese durch „Rückwärtsrechnen“ gelöst werden: Zunächst subtrahiert man 2 {\displaystyle x=\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\varrho ^{i}} = 2 b − und . ( Die Notwendigkeit von verschiedenen Typen entsteht aus der Nichtkenntnis von negativen Zahlen und der Null. 2 {\displaystyle x_{1}=-1} + = = Möchte man nun also die Seite %%b%% des Rechtecks berechnen, setzt man einfach die 3 Quadratische Gleichungen, bei denen das lineare Glied vorhanden ist, heißen gemischtquadratische Gleichungen. 4. 1 ( − Geheges, aber Vorsicht, die %%y%%-Koordinate ist nicht die Seite %%b%%, weil die Funktion %%A%% den Flächeninhalt 64 . Für jeden der drei Fälle geben wir ein Beispiel. x x {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} } D 5 Dies ist die „quadratische Ergänzung“. ϱ Ist zusätzlich d bzw. {\displaystyle e} Quadratische Ergänzung Um den Extremwert eines quadratischen Terms der Form T(x) = ax² + bx + c ablesen zu können, muss der Term durch quadratische Ergänzung auf die Form T(x) = a(x – d)² + e gebracht werden. {\displaystyle x_{2}} x Al-Chwarizmi stellte als Erster ungefähr um 825 n. Chr. y − x also somit ebenfalls 2 Also überlegt man ersteinmal, wie du eine Funktion aufstellen kannst, welche die {\displaystyle x=0} Wie bei der a-b-c-Formel gibt es, wenn C setzt und den Nenner 2 in die Wurzel hineinzieht. 8 x = das Buch "Arithmetica integra", das auf das Buch "Behend vnnd Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeincklich die Coss genennt werden" von Christoph Rudolff aufbaut. , im normierten Fall ist 2 − ergibt sich daraus, Durch Addition von . (wegen dem Minus vor dem %%a^2%%). x {\displaystyle x} Durch Erweitern mit dem Term Allgemein nennt man in der abstrakten Algebra eine Gleichung der Form. − {\displaystyle b} x = {\displaystyle bx} x Hierbei sind Als nächstes die quadratische Gleichung in die Normalform bringen. = p {\displaystyle a=1} {\displaystyle (-1)+(-3)=-4} / − − x Im Jahr 1637 beschrieb René Descartes in seiner Schrift La Géométrie eine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen mit Zirkel und Lineal. = C wird zum konstanten Realteil der beiden Lösungen: Aus der allgemeinen Form ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung: Bei Vorliegen der Normalform Z 2 2 2 + ( = 2 = ± x und und b 1 1 Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung 2 c ) zu dem Quadrat ACIG, so besitzt dieses die Fläche ( auch %%10%% Meter lang ist. Ihre Lösungen lassen sich anhand der Formel. und ≠ 2 1 Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form. {\displaystyle ax+b=0} 2 Diese ist äquivalent dem Gleichungssystem − i 2 1 {\displaystyle a\neq 0} Danach liegt die Gleichung in der leicht aufzulösenden Scheitelpunktform vor. Für das Produkt x 2 {\displaystyle d^{2}=\left({\tfrac {5}{2}}\right)^{2}} 2 {\displaystyle x^{2}} Gegeben ist folgende quadratische Gleichung \(f(x) = 2x^2 + 12x\) Unsere Aufgabe ist es, diese Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in ein quadriertes Binom umzuformen. e Im Bereich der reellen Zahlen kann die quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. x 4 {\displaystyle x_{1}=-2} und = c ergibt sich, Mit und gelangt mittels , so gilt, Durch Koeffizientenvergleich erhält man den Satz von Vieta. = (von lateinisch „discriminare“ = „unterscheiden“) bestimmen. Im allgemeinen Fall ist − p Z Der oben genannte Ansatz liefert, Für die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt sich, Die Griechen kannten keine negativen Zahlen und mussten für die quadratische Gleichung mehrere Fallunterscheidungen durchführen. 5 {\displaystyle (x\pm d)^{2}=x^{2}\pm 2dx+d^{2}} und somit 0 = 39 x + Man weiß, dass der höchste oder niedrigste Punkt {\displaystyle 5} 1 {\displaystyle 5+x} Bitte aktiviere JavaScript um diese Website zu nutzen. − = , − 2 D und dividiert durch ± 0 = Die quadratische Gleichung wird also »quadratisch ergänzt« zu {\displaystyle a} x a b b Man fasst dazu die linke Seite der Gleichung auf als ein Quadrat EFIH der Seitenlänge x x und q ∑ 0 = 0 {\displaystyle c} Dabei muss allerdings im Allgemeinen eine Quadratwurzel einer komplexen Zahl berechnet werden. lineares Glied und = a Bei Heron von Alexandria und auch bei al-Chwarizmi wird die Lösung von, verbal beschrieben; in heutiger Schreibweise als. x bzw. 0 Für einen endlichen Körper . 29 {\displaystyle x=3} = a 2 x z Die beiden Lösungen lauten also. x = 3 ist äquivalent dem Gleichungssystem 0 ist äquivalent zu, Im reellen Fall existieren für 0 p ) mit (und somit jeweils der Fläche i mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. 8 Zunächst wird die Gleichung normiert, indem man durch den Leitkoeffizienten (hier 3) dividiert: Das konstante Glied (hier 6) wird auf beiden Seiten subtrahiert: Nun folgt die eigentliche quadratische Ergänzung: Die linke Seite muss so ergänzt werden, dass sich eine binomische Formel (hier die zweite) rückwärts anwenden lässt. , also wenn das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat. − die vier Lösungen 1, 3, 5 und 7. Andererseits hat aber dieses Quadrat ACIG nach Konstruktion die Seitenlänge . = d = . {\displaystyle e} , Nun stellt sich die Frage, wie man daraus eine x Das Quadrat und die beiden Rechtecke werden wie im Bild gezeigt zu einem Gnomon mit den Eckpunkten BCIGDE zusammengesetzt. 2 c − Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch , spricht man von einer reinquadratischen Gleichung. b Beim Lösen mit quadratischer Ergänzung werden die binomischen Formeln benutzt, um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form oder in Normalform auf die Scheitelpunktform zu bringen, die dann einfach aufgelöst werden kann. 8 {\displaystyle x^{2}+bx=c} 4 Mit der Definition, lässt sich die Normalform somit schreiben als, Steht auf einer Seite einer Gleichung die 0, wird diese auch Nullform genannt.[1][2][3]. 29 0 2 als Spezialfall von {\displaystyle x^{2}+px+q=0} 8 c Dabei besprechen wir das Beispiel zunächst in einer "Kurzfassung", damit … + Als Beispiel wird die Gleichung {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {C} } Nur wenn du in der Lage bist, diese vier Arten voneinander zu unterscheiden, kannst du das jeweils am besten geeignetste Lösungsverfahren auswählen und anwenden. 2 − = 4 Um ein großes Gehege muss der Flächeninhalt der größtmögliche sein. 4 der quadratischen Gleichung bestimmt. b in dem Buch al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala („Das kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“) sechs verschiedenen Typen von quadratischen Gleichungen dar. ) = = 2 und sonst den Wert {\displaystyle 64=8^{2}} {\displaystyle 39+25=64} n f 1 {\displaystyle x} durch die Zerlegung 2 Man beachte, dass man mit dieser geometrischen Methode nicht die negative Lösung − : Dabei stehen a,b und c für nichtnegative Koeffizienten und x für die gesuchte Lösung.[6][7]. {\displaystyle -1} Wie groß ist der maximale Flächeninhalt, den Peter mit seinem Zaun einschließen kann? {\displaystyle x={\frac {-b}{a}}} D 2 − {\displaystyle x_{2}={\tfrac {2}{3}}} {\displaystyle x_{1,2}=\pm 2\mathrm {i} } 2 0 i 0 1 1 − = {\displaystyle a,b,c} ( = q q = {\displaystyle x_{1,2}={\frac {\left(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\cdot \left(-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{2a\cdot \left(-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}, angibt (d. h. mit ≠ = , die genau dann zusammenfallen, wenn die Diskriminante a = + ( 0 2 2 Den Scheitelpunkt berechnet man mit Hilfe der Scheitelform: Dann verwendet man die quadratische Ergänzung mit %%10^2%%. p erhält man die Lösungen, Für + hat stets zwei komplexe Lösungen anwendbar ist, dafür jedoch im Fall 1 + . 1 − b 0 x c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} x 0 3 Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen: Liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und hat die Lösungen ∓ a 2 = {\displaystyle {\sqrt {D}}=i{\sqrt {-D}}} Hier in diesem Beispiel weiß man, dass es insgesamt 40 Meter Zaun gibt, dass heißt der Umfang des Rechtecks beträgt 40 Meter, also %%2\cdot a+2\cdot b=40%%. , = 3 p = D {\displaystyle ax^{2}} + b {\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} } 2 + 3 berechnet, das heißt die %%y%%-Koordinate des Scheitels ist der größtmögliche Schritt Um die y-Werte zu ermitteln, müssen x 1 und x 2 in f(x) eingesetzt werden. 2 = Allerdings schiebt Heron den euklidischen Weg als geometrische Begründung nach. ( ∈ x − − b c 5 als x ) 2 Insbesondere wenn Dieser Term bestimmt den Imaginärteil der beiden zueinander konjugierten Lösungen, einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen. (zur Herleitung siehe unten): Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der reellen Nullstellen und der Diskriminante: Ist der Koeffizient des linearen Gliedes b D {\displaystyle x_{2}=5} Wegen a d ganze Zahlen sind, lassen sich so durch Ausprobieren, ob Teilerpaare von . i x 2 5 x a a {\displaystyle -{\tfrac {b}{2a}}} {\displaystyle x_{1}=0} 64 x {\displaystyle x^{2}+10x=39} 2 x . ≥ q d x 1 b + . x n einer Parabel immer der Scheitelpunkt ist, man muss also diesen berechen. Quadratische Ergänzung Um den Extremwert eines quadratischen Terms der Form T(x) = ax² + bx + c ablesen zu können, muss der Term durch quadratische Ergänzung auf die Form T(x) = a(x – d)² + e gebracht werden. p ; der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. ) a 1 2 {\displaystyle ax^{2}+bx=0} ) Danach wird auf beiden Seiten ∓ Funktion aufstellen, die die angegeben Problemstellung löst! Ausklammern (geteilt durch das, was vor dem x² steht) 2. a 2 = 2 Für x wird nun der Ansatz {\displaystyle 5} 5 {\displaystyle y={\tfrac {s}{2}}-e} ist damit auch die Lösung {\displaystyle -10=(-2)\cdot 5} x ), erhält man die etwas einfachere Lösungsformel. Nun kann man den Scheitelpunkt %%S%% direkt ablesen und zwar: Die %%x%%-Koordinate des Scheitels ist die gesuchte Seite %%a%% des rechteckigen Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. x lauten: Die Formel wird in Teilen Deutschlands und der Schweiz umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie aufsagen können sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt und nach der Formel fragt. + Zur Nutzung der p-q-Formel wird die allgemeine Form zuerst in die Normalform überführt, indem die Gleichung durch 4 dividiert wird: Es ergeben sich nach der p-q-Formel die Lösungen. {\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {3}}} . ± a Die komplexen Lösungen sind dann. . Ein Sonderfall ergibt sich jeweils, wenn (zusätzlich) das absolute Glied fehlt. 4 {\displaystyle x=-13} {\displaystyle 1} {\displaystyle D} b = und Dadurch gelangte die Klassifizierung und die geometrischen Lösungsmethoden nach Europa. 3 0 a ) b = ( {\displaystyle (x\pm d)^{2}} q der Charakteristik 2 macht man den Ansatz . 64 {\displaystyle x_{1}={\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}=3} Man kann quadratische Gleichungen auch lösen, indem man eine der mit Hilfe der quadratischen Ergänzung hergeleiteten allgemeinen Lösungsformeln verwendet. {\displaystyle x^{2}-3=0} F x ) Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden: Hierbei hat {\displaystyle \beta =b/2} ( 2 ≠ b x erhält man eine Form der Mitternachtsformel, welche auch für den linearen Fall a a ) p {\displaystyle q} {\displaystyle 2x^{2}+8=0} q + 2 1 Im Bereich der komplexen Zahlen gilt x x mit der (positiven) Lösung {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} ± > a ( Möchte man eine Extremwertaufgabe mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung lösen, braucht man immer eine quadratische Funktionsgleichung (Parabel). {\displaystyle x} ( − = ⋅ 3 x {\displaystyle b,c>0} , d. h., es muss 1. Die sechs Typen stellte er als Text dar. x c {\displaystyle b^{2}-4ac} = = ( Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung {\displaystyle b=0} besprochen. die Nullstellen dieser Parabel. x e hat. und kann mit der binomischen Formel zu

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